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ऑटो-ट्यून से मोटर ऑइल तक, पाई दुनिया को शक्ति प्रदान करता है

14 मार्च इस साल कोई नियमित पाई दिवस नहीं है। हर जगह मठ के उत्साही लोग अंतिम पाई दिवस के रूप में इस समारोह का जश्न मना रहे हैं, क्योंकि यह तारीख पहले तीन के बजाय पाई (3.1415) के पहले पांच अंकों के अनुरूप होगी। यह गणितीय संगम 14 मार्च, 2115 को एक सदी के लिए फिर से नहीं आएगा।

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  • दुनिया सर्किलों से भरा है

एक वृत्त के परिधि के व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित, pi (is) दोनों एक पारलौकिक और एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे कभी भी दो पूरे संख्याओं के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, और यह बिना किसी पैटर्न को दोहराए अनिश्चित काल तक जारी रहता है। उदाहरण के लिए पाई एकमात्र अपरिमेय संख्या नहीं है - यूलर का नंबर (e) और स्वर्णिम अनुपात ( φ, या phi) भी है। मैरीलैंड के स्पेस टेलीस्कोप साइंस इंस्टीट्यूट के एक खगोलविद मारियो लिवियो ने कहा कि यह आकर्षण का स्रोत बना हुआ है क्योंकि इसकी उत्पत्ति आसानी से समझ में आ जाती है।

“हर कोई समझ सकता है कि पाई कैसे प्राप्त होती है। अन्य सभी संख्याएँ अधिक जटिल हैं। उदाहरण के लिए, संख्या phi में एक रेखा का एक विशेष विभाजन शामिल होता है, और संख्या e के लिए आपको यह जानना आवश्यक है कि एक लघुगणक क्या है, "Livio, पुस्तक के लेखक ईश्वर एक गणितज्ञ है?

पीआई की अपील का एक और बड़ा हिस्सा यह है कि इसमें गणितीय सूत्रों में प्रदर्शित होने के लिए एक अलौकिक शूरवीर है, जिनमें से कई इमेज प्रोसेसिंग से जीपीएस नेविगेशन तक की रोजमर्रा की प्रक्रियाओं के लिए महत्वपूर्ण हैं। यहाँ आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले फ़ार्मुलों का एक छोटा सा नमूना है जिसमें पाई शामिल है:

फूरियर रूपांतरण

फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन-बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर के लिए नामित, यह गणितीय उपकरण अपने घटक आवृत्तियों में एक संकेत को विघटित करता है - बल्कि यह भी कि कैसे एक संगीत कॉर्ड को अपने घटक नोटों में तोड़ा जा सकता है। संक्षेप में, फूरियर ट्रांसफॉर्म तरंग-आधारित सिग्नल जैसे ध्वनि या प्रकाश और खोज पैटर्न के प्रसंस्करण के लिए आदर्श हैं। यह फूरियर आधुनिक डिजिटल दुनिया में एक बुनियादी उपकरण को बदल देता है।

“यह मानव जाति द्वारा विकसित एकल सबसे महत्वपूर्ण एल्गोरिदम कहा गया है। अब यह हाइपरबोले हो सकता है, लेकिन शायद यह नहीं है, ”ग्लेन व्हिटनी, न्यूयॉर्क शहर में राष्ट्रीय संग्रहालय के गणित के संस्थापक और निदेशक कहती हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग हर समय डिजिटल छवियों को साफ करने के लिए, ऑटो-ट्यून पॉप सितारों के लिए, और अन्य तारों की परिक्रमा करने वाले दूर के ग्रहों का पता लगाने के लिए किया जाता है। यह उपकरण वॉयस-टू-टेक्स्ट सुविधाओं के लिए भी महत्वपूर्ण है जो अब स्मार्टफोन पर मानक हैं। "जब आप सिरी या Google नाओ का उपयोग करते हैं, तो पहला कदम आपकी आवाज़ उठाना और उस पर एक फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म करना है ... स्वरों को पहचानना बहुत आसान हो जाता है जब आप उनके फूरियर ट्रांसफॉर्म को देखते हैं, जब आप देखते हैं। मूल संकेत खुद, ”व्हिटनी कहते हैं।

fourier.jpg (विक्टोरिया जैगार्ड द्वारा चित्रण)

पाई फूरियर ट्रांसफॉर्म में दिखाई देती है क्योंकि सूत्र का एक भाग या भाव, साइन और कोसाइन और एक सर्कल के चारों ओर घूमने वाले कण द्वारा बनाए गए कोणों से जुड़ा होता है। व्हिटनी कहती हैं, "जब भी आपके पास कोई ऐसा फॉर्मूला होता है जो सर्किल या एंगल्स से निपटता है, तो आप हैरान नहीं होंगे।"

हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत

क्वांटम यांत्रिकी के स्तंभों में से एक, हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत में कहा गया है कि एक पर्यवेक्षक एक उप-परमाणु कण की स्थिति और गति दोनों को एक साथ नहीं जान सकता है। इसके बजाय, एक कण की स्थिति जितनी सटीक रूप से ज्ञात होती है, उतनी ही कम उसके वेग के बारे में जाना जा सकता है।

heisenberg.jpg (विक्टोरिया जैगार्ड द्वारा चित्रण)

व्हिटनी का कहना है कि हेइज़ेनबर्ग के अनिश्चितता के सिद्धांत में पी की उपस्थिति तब समझ में आती है जब आप महसूस करते हैं कि सूत्र, स्थिति और गति एक दूसरे के फूरियर रूपांतरण हैं। अनिश्चितता का सिद्धांत आधुनिक दुनिया में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह फाइबर ऑप्टिक्स संचार प्रणालियों में प्रकाश कणों, या फोटोन के व्यवहार का वर्णन करता है। “यह हमें बताता है कि हम अत्यधिक सटीकता के साथ फोटॉनों की स्थिति और गति दोनों को नहीं जान सकते हैं। आप संचार प्रोटोकॉल डिज़ाइन नहीं कर सकते जो हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करते हैं, क्योंकि वे काम नहीं करेंगे। ”

स्टोक का नियम

स्टोक का नियम एक छोटे से गोले को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक बल की गणना करता है - अर्थात्, एक त्रि-आयामी सर्कल - एक निश्चित वेग पर एक चिपचिपा द्रव के माध्यम से। इसमें पृथ्वी विज्ञान से लेकर चिकित्सा तक के क्षेत्र में अनुप्रयोग हैं।

stokes.jpg (विक्टोरिया जैगार्ड द्वारा चित्रण)

"कानून विशेष रूप से तरल पदार्थ में एक क्षेत्र पर चिपचिपाहट के प्रभाव के बारे में है, " व्हिटनी कहते हैं, जो कि पीआई खेल में आता है। स्टोक के नियम के व्यावहारिक उपयोग के लिए, अपनी कार से आगे नहीं देखें। "दशकों के लिए, जिस तरह से कंपनियों ने सुनिश्चित किया है कि आपकी मोटर तेल में आपकी कार के लिए सही चिपचिपाहट थी, सचमुच वस्तुतः परीक्षण क्षेत्रों की एक श्रृंखला को तेल में गिराने और तरल के माध्यम से गिरने में लगने वाले समय को मापने के लिए है, " व्हिटनी कहते हैं। आज, तेल की चिपचिपाहट को मापने का सबसे आम तरीका एक उपकरण है जिसमें एक केशिका ट्यूब विस्कोमीटर कहा जाता है, किसी भी क्षेत्र की आवश्यकता नहीं है - लेकिन यह अभी भी माप की इकाइयों में परिणाम की रिपोर्ट करता है जिसे सेंटोकोस्ट कहा जाता है।

यूलर का फॉर्मूला

स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर के नाम पर, इस सूत्र के संस्करण में पीआई शामिल है जो एक स्थान पर गणित के कुछ सबसे पेचीदा नंबरों को इकट्ठा करता है:

euler.jpg (विक्टोरिया जैगार्ड द्वारा चित्रण)

“हर कोई सिर्फ यह अविश्वसनीय है सोचता है। इन सभी संख्याओं को हम विशेष रूप से एक सुंदर समीकरण के रूप में देखते हैं, ”लिवियो कहते हैं। जबकि यह पैथी सूत्र गणितज्ञों में विस्मय को प्रेरित कर सकता है, समीकरण का अधिक उपयोगी रूप थोड़ा लंबा है:

यूलर-long.jpg (विक्टोरिया जैगार्ड द्वारा चित्रण)

व्हिटनी कहती है कि यूलर के सूत्र का यह अनपैक्ड संस्करण एक अविश्वसनीय उपकरण है। उदाहरण के लिए, यह उन इलेक्ट्रॉनिक्स को डिजाइन करने के लिए महत्वपूर्ण है जो बारी-बारी से चालू या एसी का उपयोग करते हैं। व्हिटनी कहती हैं, "विस्तारित रूप में यूलर के फॉर्मूला का मतलब है कि आप जटिल, या काल्पनिक, संख्याओं का विश्लेषण और डिजाइन कर सकते हैं।" ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वैकल्पिक चालू सर्किट में, वोल्टेज एक मात्रा है जो समय के साथ दोलन करती है - आमतौर पर प्रति सेकंड 60 बार, उदाहरण के लिए, मानक अमेरिकी विद्युत आपूर्ति में। व्हिटनी कहती हैं, '' यूलर के फॉर्मूले का पूरा संस्करण सिखाता है कि हम जटिल संख्याओं का उपयोग मॉडलिंग के लिए एक सुविधाजनक आशुलिपि के रूप में कैसे कर सकते हैं।

आइंस्टीन के फील्ड समीकरण

सापेक्षता के अपने सामान्य सिद्धांत का एक मुख्य घटक, अल्बर्ट आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों का वर्णन है कि द्रव्यमान और ऊर्जा से गुरुत्वाकर्षण अंतरिक्ष-समय की वक्रता कैसे बनाते हैं।

field.jpg (विक्टोरिया जैगार्ड द्वारा चित्रण)

"यह बताते हुए कि वक्रता में ज्यामिति शामिल है, और चूंकि पी की मूल परिभाषा ज्यामिति से आती है, इसलिए यह इस समीकरण में आश्चर्यजनक नहीं है, " लिवियो कहते हैं। ब्रह्मांड कैसे काम करता है, इसके बारे में एक बुनियादी सच्चाई का खुलासा करने के अलावा, सामान्य सापेक्षता में कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, नेविगेशन के लिए उपयोग किए जाने वाले ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम को बनाने वाले उपग्रहों को एक दूसरे के साथ सिंक से बाहर किया जाएगा यदि इंजीनियरों ने सिद्धांत द्वारा भविष्यवाणी की गई समय के फैलाव प्रभाव को ध्यान में नहीं रखा।

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