अंतिम टाफी मशीन बनाने के लिए गणित का उपयोग करना

जब हम में से अधिकांश एक पर्यटक बोर्डवॉक पर एक टाफ़ी खींचने वाली मशीन को दूर से देखते हैं, तो हम मीठा, मीठा चीनी के बारे में सोचते हैं। जीन-ल्यूक थिफ़ौल्ट मीठे, मीठे गणित के बारे में सोचते हैं। विस्कॉन्सिन-मैडिसन विश्वविद्यालय में एक लागू गणितज्ञ के रूप में, थिफ़ुल्ट्ट विशेष रूप से उस तरह की सामग्री में रुचि रखते हैं जैसे टाफी मिलाया जाता है: मशीन में, हवा को शामिल करने के लिए और ऊपर और ऊपर मुड़ा हुआ है और इसकी रोशनी, च्यूसी बनावट विकसित होती है। जैसे-जैसे इसे खींचा जाता है, टाफ़ी की मूल आयत अधिक से अधिक खिंचती जाती है - हर बार उसी अनुपात से इसकी लंबाई तेजी से बढ़ती है। वह खिंचाव अनुपात है, जिसमें थिफ़ॉल्ट्ट का हित है

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जब कोई व्यक्ति टाफी खींचता है, तो वे आम तौर पर कैंडी की गांठ लेंगे और इसे एक हुक पर फैलाएंगे, दोनों छोरों को एक साथ लाएंगे। फिर वे उस मोड़े हुए टुकड़े को लेंगे और उसे दोबारा हुक पर फैलाएंगे, जिससे लंबाई दोगुनी हो जाएगी, और इसी तरह। दूसरे शब्दों में, "ऐसा करने का मानवीय तरीका 2 का गुणन कारक है, " थिफ़ॉल्ट कहते हैं। मैकेनिकल खींचने वाले बेहतर कर सकते हैं, अक्सर बड़े, विदेशी अपरिमेय संख्याओं को अपने खिंचाव कारकों के रूप में उपज देते हैं।

यह पता चला है कि टाफी पुलिंग को गणित के एक अमूर्त क्षेत्र द्वारा संरचित किया जा सकता है जिसे सामयिक गतिशीलता के रूप में जाना जाता है, अनिवार्य रूप से एक गणितीय अंतरिक्ष में समय के साथ दीर्घकालिक, बड़े पैमाने पर परिवर्तन का अध्ययन। (यदि टोपोलॉजिकल शब्द परिचित लगता है, तो यह हाल ही में इस साल के भौतिकी के नोबेल पुरस्कार के हिस्से के रूप में समाचार में था।) एक ही गणित जो टाफी-पुलिंग का वर्णन करता है, उसमें और भी अधिक गंभीर अनुप्रयोग हैं: कई औद्योगिक प्रक्रियाएं, जिनमें ग्लासब्लास्टिंग और ड्रग तैयारी शामिल हैं, की आवश्यकता होती है। चिपचिपे तरल पदार्थों को उन तरीकों से मिलाया जाना चाहिए जो कॉफी में क्रीम को पिघलाने की तुलना में टाफी खींचना अधिक पसंद करते हैं। "यदि आप वास्तव में चिपचिपा चीजों को भड़काने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि फार्मास्युटिकल उद्योग चिपकाता है, तो आप उन्हें हिला नहीं सकते, " थिइफॉल्ट कहते हैं। "यह मिश्रण रंग की तरह नहीं है।"

थिफ़ॉल्ट ने लंबे समय तक चिपचिपा मिश्रण के उदाहरण के रूप में टाफ़ी-पुलिंग को समझा है, लेकिन हाल ही में उन्होंने वास्तव में अपने गणितीय रहस्यों का पता लगाने के लिए टाफ़ी-खींचने वालों के इतिहास पर ध्यान दिया है। ऐतिहासिक पेटेंट में उस भ्रमण का परिणाम उसका हालिया पेपर "टाफी पुलर्स का गणितीय इतिहास" है, जो जुलाई में प्रीप्रिंट सर्वर arXiv पर प्रकाशित हुआ था।

विशेष रूप से, वह क्षेत्र जो उसके टाफी-खींचने वाले गहरे गोता का नेतृत्व करता है, उसे छद्म-एनोसोव मैपिंग कहा जाता है। छद्म-एनोसोव एक प्रक्रिया का वर्णन करने का एक फैंसी तरीका है जिसमें एक दो-आयामी आकार को एक दिशा में तेजी से बढ़ाया जाता है, जबकि यह दूसरे में सिकुड़ता है। गणितीय रूप से, छद्म-एनोसोव मैपिंग का अध्ययन अपेक्षाकृत नया है। "70 और 80 के दशक में, लोग उदाहरण खोजने के लिए बहुत कोशिश कर रहे थे, " थिफ़ौल्ट कहते हैं। विडंबना यह है कि वे सभी वहाँ टैफ़ी-खींचने वालों के लिए पेटेंट में थे। "क्योंकि गणितज्ञों ने इस साहित्य को कभी नहीं देखा, वे कभी नहीं जानते थे कि वे अस्तित्व में हैं, " वे कहते हैं।

जब वह टाफ़ी-खींचने वाले पेटेंट के माध्यम से मुकाबला कर रहा था, तो थिफ़ॉल्ट ने एक कानूनी लड़ाई पर ठोकर खाई जो सर्वोच्च न्यायालय के लिए सभी तरह से चली गई। 1921 के मामले में हिल्ड्रेथ बनाम मस्तोरस था कि मोटे तौर पर एक टाफी -पुलर के लिए 1900 पेटेंट को कैसे विवश किया जाना चाहिए था। वह यह है: किसी अन्य व्यक्ति द्वारा बनाया गया बाद का मॉडल केवल एक मामूली सुधार था, या यह एक अलग उपकरण था? इस तर्क का एक महत्वपूर्ण हिस्सा था कि 1900 पेटेंट 1893 के पूर्ववर्ती (जो शायद कभी निर्मित नहीं हुआ था) से कितना अलग था। चीफ जस्टिस विलियम हॉवर्ड टैफ़्ट द्वारा लिखित अदालत की राय, "टॉपोलॉजिकल डायनेमिक्स की गहरी समझ दिखाती है, " अपने लेख में थिफ़ौल्ट लिखते हैं।

अदालत ने माना कि पहले वाले उपकरण- जिसमें केवल दो हुक थे - कुशल कन्फेक्शन निर्माण के लिए आवश्यक घातीय डिग्री तक टाफी को नहीं खींच सकते थे। टैफ की राय बताती है:

केवल दो हुक के साथ कैंडी की कोई भी लैपिंग नहीं हो सकती थी, क्योंकि कैंडी को फिर से जोड़ने के लिए कोई तीसरा पिन नहीं था जबकि इसे अन्य दो पिनों के बीच रखा गया था। संकेंद्रित हलकों में दो पिंस की गति इसे कुछ हद तक खींच सकती है और इसे हिला सकती है, लेकिन यह इसे कला के अर्थ में नहीं खींचेगा।

थिफ़ौल्ट लिखते हैं, "सुप्रीम कोर्ट की राय मौलिक अंतर्दृष्टि को प्रदर्शित करती है कि कम से कम तीन छड़ के लिए किसी प्रकार की तेजी से विकास की आवश्यकता होती है।"

थिफ़ौल्ट का कहना है कि आज उपयोग में दो मानक टाफ़ी-खींचने वाले हैं, तीन छड़ के साथ और चार के साथ एक। वे एक ही खिंचाव कारक होते हैं। यह तथाकथित चांदी अनुपात से संबंधित है, 1+, 2, या लगभग 2.414, अधिक प्रसिद्ध स्वर्ण अनुपात का थोड़ा कम चमकदार चचेरा भाई।

यह तथ्य कि चांदी के अनुपात के साथ दो मानक टाफ़ी-खींचने वाले तत्व दिलचस्प हैं, क्योंकि चांदी का अनुपात एक सटीक गणितीय अर्थ में है - इष्टतम। हालांकि, थिफ़ौल्ट ने चेतावनी दी है कि अलग-अलग टाफ़ी-पुलर्स को रैंक करना इतना आसान नहीं है, तब भी जब आप उनके खिंचाव के कारकों को जानते हैं: "इसके लिए एक सेब और संतरे का पहलू है जो चारों ओर प्राप्त करना काफी मुश्किल है, " वे कहते हैं। एक खींचने वाले के पास अधिक छड़ें हो सकती हैं और दूसरे की तुलना में अपनी प्रारंभिक स्थिति में लौटने में अधिक समय लग सकता है, या इसके लिए अधिक टोक़ या अधिक जटिल गियरिंग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए यद्यपि गणित कुछ अंतर्दृष्टि देता है कि टाफ़ी-खींचने वाले कितनी अच्छी तरह खींचते हैं, यह पूरी कहानी नहीं बताता है।

टाफ़ी-पुलर्स में थिफ़ॉल्ट के शोध ने उन्हें और उनके स्नातक छात्र एलेक्स फ्लैगन को अपना मॉडल बनाने के लिए प्रेरित किया। वे यह देखना चाहते थे कि क्या वे गियर को अधिक संशोधित किए बिना दक्षता बढ़ा सकते हैं, और मानक 4-रॉड खींचने वाले गियरिंग के आधार पर एक उपन्यास 6-रॉड खींचने वाला बना। "कारण है कि हम ऐसा करने में सक्षम थे कि हम अब गणित है, " Thiffeault कहते हैं। वे मशीन को कंप्यूटर पर बड़े पैमाने पर मॉडल कर सकते थे और वास्तविक भौतिक उपकरणों के साथ बहुत सारे परीक्षण और त्रुटि को बायपास कर सकते थे जो पहले के आविष्कारकों को करना था। 6-रॉड डिवाइस, जो अभी भी केवल एक प्रोटोटाइप है, प्रत्येक चक्र में मानक खींचने वालों के बारे में दो बार टाफी खींचती है।

अब तक, टाफी-खींचने वाले निर्माता अपने डिजाइनों के अनुकूलन के बारे में अपनी सलाह लेने के लिए थिफ़ॉल्ट के दरवाजे को बिलकुल बंद नहीं कर रहे हैं - बिग टाफ़ी स्पष्ट रूप से अपनी खिंचाव की स्थिति के साथ सामग्री है - लेकिन उन्हें उम्मीद है कि उनके तरीकों का अन्य उद्योगों में प्रभाव हो सकता है। Glassblowing के अलावा, अनुकूलन मिश्रण के लिए एक तार्किक स्थान दवा उद्योग है। आखिरकार, विटामिन और दवाओं के मिश्रण के लिए अत्यंत उच्च गुणवत्ता नियंत्रण की आवश्यकता होती है: निर्माता "सही मिश्रण के लिए बहुत सारे पैसे देने को तैयार हैं" क्योंकि वे "1000 में से एक खराब मल्टीविटामिन को बर्दाश्त नहीं कर सकते हैं, " थिइफॉल्ट कहते हैं। तो किसी दिन, फार्मासिस्ट समर्पित यॉफ़ी के लिए एक मधुर चिल्लाहट दे सकते हैं।

तो फिर, यह थोड़ा खिंचाव हो सकता है।