20 मार्च को, अमेरिकी-कनाडाई गणितज्ञ रॉबर्ट लैंगलैंड्स को गणित में आजीवन उपलब्धि का जश्न मनाते हुए, एबेल पुरस्कार मिला। लैंगलैंड्स के शोध में दिखाया गया है कि कैसे ज्यामिति, बीजगणित और विश्लेषण से अवधारणाओं को प्राइम नंबरों की एक सामान्य कड़ी द्वारा एक साथ लाया जा सकता है।
जब नॉर्वे का राजा मई में लैंगलैंड्स को पुरस्कार प्रदान करता है, तो वह प्राइम संख्याओं को समझने के लिए 2, 300 साल के प्रयास में नवीनतम को सम्मानित करेगा, यकीनन गणित में सबसे बड़ा और सबसे पुराना डेटा सेट। एक गणितज्ञ के रूप में इस "लैंगलैंड्स कार्यक्रम" के लिए समर्पित, मैं अभाज्य संख्याओं के इतिहास से रोमांचित हूं और हाल के अग्रिमों ने उनके रहस्यों को कैसे छेड़ दिया। उन्होंने सहस्त्राब्दी के लिए गणितज्ञों को क्यों बंदी बनाया है?
प्राइम्स का अध्ययन करने के लिए, गणितज्ञ एक के बाद एक वर्चुअल मेष के माध्यम से पूरे नंबरों को तब तक स्ट्रेच करते हैं जब तक कि केवल प्राइम ही न रह जाएं। इस sieving प्रक्रिया ने 1800 के दशक में लाखों अपराधों की तालिकाएँ तैयार कीं। यह आज के कंप्यूटरों को एक सेकंड से भी कम समय में अरबों primes खोजने की अनुमति देता है। लेकिन छलनी का मूल विचार 2, 000 वर्षों में नहीं बदला है।
गणितज्ञ यूक्लिड ने 300 ईसा पूर्व में लिखा था, "एक अभाज्य संख्या वह है जो अकेले इकाई द्वारा मापी जाती है। इसका मतलब यह है कि अभाज्य संख्याओं को समान रूप से किसी भी छोटी संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है। 1. अधिवेशन के अनुसार, गणितज्ञों की गिनती 1 के रूप में नहीं होती है। एक प्रमुख संख्या। यूक्लिड ने अपराधों की अनंतता को साबित कर दिया - वे हमेशा के लिए चले जाते हैं - लेकिन इतिहास से पता चलता है कि यह एराटोस्थनीज थे जिन्होंने हमें छलियों को जल्दी से सूचीबद्ध करने के लिए छलनी दी।
यहाँ चलनी का विचार है। सबसे पहले, 2 के गुणकों को फ़िल्टर करें, फिर 3 को, फिर 5 को, फिर 7 को- पहले चार बार। यदि आप 2 से 100 तक सभी संख्याओं के साथ ऐसा करते हैं, तो केवल प्रमुख संख्याएँ ही रहेंगी।
2, 3, 5 और 7 के गुणकों को केवल 1 और 100 के बीच के अपराधों को छोड़ देता है। (एमएच वीसमैन के सौजन्य से) आठ फ़िल्टरिंग चरणों के साथ, व्यक्ति 400 तक के प्राइमो को अलग कर सकता है। 168 फ़िल्टरिंग चरणों के साथ, व्यक्ति 1 मिलियन तक के प्राइम को अलग कर सकता है। वह एराटोस्थनीज की छलनी की शक्ति है।
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टेबुलिंग प्राइम्स में एक प्रारंभिक व्यक्ति जॉन पेल है, जो एक अंग्रेजी गणितज्ञ है, जिसने उपयोगी संख्याओं की तालिका बनाने के लिए खुद को समर्पित किया है। उन्हें डायफैंटोस की प्राचीन अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए प्रेरित किया गया था, लेकिन गणितीय सत्य को व्यवस्थित करने के लिए एक व्यक्तिगत खोज द्वारा भी। उनके प्रयासों की बदौलत, 1700 के दशक तक 100, 000 तक के अपराधों को व्यापक रूप से प्रसारित किया गया था। 1800 तक, स्वतंत्र परियोजनाओं ने 1 मिलियन तक के अपराधों को सारणीबद्ध किया था।
थकाऊ sieving चरणों को स्वचालित करने के लिए, कार्ल फ्रेडरिक हिंडनबर्ग नामक एक जर्मन गणितज्ञ ने एक बार में एक टेबल के पूरे पृष्ठ पर कई गुना बाहर टिकट लगाने के लिए समायोज्य स्लाइडर्स का उपयोग किया। एक और कम-तकनीक लेकिन प्रभावी दृष्टिकोण ने स्टैंसिल का उपयोग गुणकों का पता लगाने के लिए किया। 1800 के दशक के मध्य तक, गणितज्ञ जैकब कुलिक ने 100 मिलियन तक के सभी अपराधों को खोजने के लिए एक महत्वाकांक्षी परियोजना शुरू की थी।
37 के गुणकों को छलनी करने के लिए कुलिक द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक स्टैंसिल। A usedAW, नाचलस कुलिक, (डेनिस रोएगेल की छवि शिष्टाचार, लेखक प्रदान) 1800 के इस "बड़े डेटा" ने केवल संदर्भ तालिका के रूप में कार्य किया हो सकता है, अगर कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने स्वयं के लिए अपराधों का विश्लेषण करने का फैसला नहीं किया था। 3 मिलियन तक के अपराधों की सूची के साथ, गॉस ने उन्हें, एक बार में एक "चिलियाड, " या 1, 000 इकाइयों के समूह की गिनती शुरू की। उसने 1, 000 तक की गिनती की, फिर 1, 000 और 2, 000 के बीच के मामले, फिर 2, 000 और 3, 000 के बीच के मुकदमों को गिना।
गॉस ने पाया कि, जैसा कि उन्होंने उच्चतर गिना है, धीरे-धीरे "उलटा-लॉग" कानून के अनुसार अपराध कम होते जाते हैं। गॉस का नियम ठीक से नहीं दिखाता है कि कितने अपराध हैं, लेकिन यह एक बहुत अच्छा अनुमान देता है। उदाहरण के लिए, उनका कानून 1, 000, 000 और 1, 001, 000 के बीच 72 अपराधों की भविष्यवाणी करता है। सही गणना 75 प्राइम्स है, लगभग 4 प्रतिशत त्रुटि।
गॉस की पहली खोज के एक सदी बाद, उनका कानून "प्राइम नंबर प्रमेय" में साबित हुआ था। प्रतिशत त्रुटि बड़ी और बड़ी रेंज के अपराधों पर शून्य तक पहुंचती है। रीमैन परिकल्पना, एक मिलियन-डॉलर की पुरस्कार समस्या, आज यह भी बताती है कि गॉस का अनुमान वास्तव में कितना सटीक है।
प्राइम नंबर प्रमेय और रीमैन परिकल्पना को ध्यान और पैसा मिलता है, लेकिन दोनों ने पहले की तुलना में कम ग्लैमरस डेटा विश्लेषण किया।
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आज, हमारे डेटा सेट हाथ से कटे हुए स्टेंसिल के बजाय कंप्यूटर प्रोग्राम से आते हैं, लेकिन गणितज्ञ अभी भी अपराधों में नए पैटर्न ढूंढ रहे हैं।
2 और 5 को छोड़कर, सभी अभाज्य संख्याएं अंक 1, 3, 7 या 9 में समाप्त होती हैं। 1800 के दशक में, यह साबित हो गया था कि ये संभावित अंतिम अंक समान रूप से लगातार हैं। दूसरे शब्दों में, यदि आप एक मिलियन तक के अपराधों को देखें, तो 1 में 25 प्रतिशत का अंत, 3 में 25 प्रतिशत का अंत, 7 में 25 प्रतिशत का अंत और 9 में 25 प्रतिशत का अंत होगा।
कुछ साल पहले, स्टैनफोर्ड नंबर के सिद्धांतकार लेमेक ओलिवर और कन्नन साउंडराजन को अपराध के अंतिम अंकों में quirks द्वारा पकड़ा गया था। एक प्राइम के अंतिम अंक पर एक प्रयोग देखा गया, साथ ही अगले प्राइम का अंतिम अंक भी। उदाहरण के लिए, 23 के बाद अगला प्रमुख 29 है: एक अपने अंतिम अंकों में एक 3 और फिर एक 9 देखता है। क्या कोई 3, फिर 9 को 3 से अधिक बार देखता है, जो कि 7 अंकों के अंतिम अंक के बीच है?
100 मिलियन तक क्रमिक अभाज्य संख्याओं के बीच अंतिम अंकों की जोड़ियों की आवृत्ति। मैचिंग रंग मिलान अंतराल के अनुरूप हैं। (एमएच वीसमैन, सीसी बाय) संख्या सिद्धांतकारों ने कुछ भिन्नता की अपेक्षा की, लेकिन जो उन्होंने पाया वह अपेक्षाओं से अधिक था। अलग-अलग अंतराल से प्राइम्स अलग हो जाते हैं; उदाहरण के लिए, 23 29 से छह नंबर दूर है। लेकिन 3-तत्कालीन 9 अपराध जैसे 23 और 29 7-तब-3 अपराधों की तुलना में कहीं अधिक सामान्य हैं, भले ही दोनों छह के अंतर से आते हैं।
गणितज्ञों को जल्द ही एक प्रशंसनीय स्पष्टीकरण मिला। लेकिन, जब यह क्रमिक अपराधों के अध्ययन की बात आती है, तो गणितज्ञ डेटा विश्लेषण और अनुनय तक सीमित होते हैं। सबूत-गणितज्ञों के सोने के मानक यह समझाने के लिए कि चीजें सच क्यों हैं - दशकों दूर।
यह आलेख मूल रूप से वार्तालाप पर प्रकाशित हुआ था।
मार्टिन एच। वीसमैन, गणित के एसोसिएट प्रोफेसर, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सांता क्रूज़
