आपको अपने दैनिक जीवन में सैकड़ों बार एकतरफा वस्तुओं का सामना करना पड़ा है - रीसाइक्लिंग के लिए सार्वभौमिक प्रतीक की तरह, एल्यूमीनियम के डिब्बे और प्लास्टिक की बोतलों के पीछे मुद्रित।
इस गणितीय वस्तु को मोबियस स्ट्रिप कहा जाता है। इसने 1858 में एक जर्मन गणितज्ञ, जो अगस्त 25, 1868 को मृत्यु हो गई, एक जर्मन गणितज्ञ द्वारा 1858 में अपनी खोज के बाद से पर्यावरणविदों, कलाकारों, इंजीनियरों, गणितज्ञों और कई अन्य लोगों को मोहित किया है।
मोबीस ने 1858 में लीपज़िग विश्वविद्यालय में खगोल विज्ञान और उच्च यांत्रिकी की कुर्सी के रूप में सेवा करते हुए एक तरफा पट्टी की खोज की। (लिस्टिंग के एक अन्य गणितज्ञ ने वास्तव में कुछ महीने पहले इसका वर्णन किया था, लेकिन 1861 तक अपने काम को प्रकाशित नहीं किया।) मोबीस ने पॉलीहेड्रा के ज्यामितीय सिद्धांत पर काम करते हुए मोबीस पट्टी का सामना किया है, ठोस आंकड़े, किनारों और सपाट चेहरों से बना है। ।
कागज की एक पट्टी लेकर एक मोबीअस स्ट्रिप बनाई जा सकती है, जिससे यह एक विषम संख्या में आधा-ट्विस्ट देता है, फिर छोरों को एक साथ जोड़कर एक लूप बनता है। यदि आप एक पेंसिल लेते हैं और पट्टी के केंद्र के साथ एक रेखा खींचते हैं, तो आप देखेंगे कि रेखा स्पष्ट रूप से लूप के दोनों किनारों पर चलती है।
डच ग्राफिक डिजाइनर एमसी एस्चर जैसे एक-तरफा ऑब्जेक्ट से प्रेरित कलाकारों की अवधारणा, जिसका वुडकट "मोबीस स्ट्रिप II" एक मोबियस पट्टी के साथ एक के बाद एक लाल रेंगती हुई चींटियों को दर्शाता है।
मोबियस पट्टी में एक से अधिक आश्चर्यजनक संपत्ति हैं। उदाहरण के लिए, कैंची की एक जोड़ी लेने की कोशिश करें और उस रेखा के आधे हिस्से में पट्टी काट दें, जिसे आपने अभी खींचा है। आपको यह जानकर आश्चर्य हो सकता है कि आप दो छोटे एक तरफा मोबीस स्ट्रिप्स के साथ नहीं बचे हैं, बल्कि एक लंबे दो तरफा लूप के साथ हैं। यदि आपके हाथ में कागज का एक टुकड़ा नहीं है, तो एस्चर्स वुडकट "मोबीस स्ट्रिप I" से पता चलता है कि जब मोबीस पट्टी को उसके केंद्र रेखा के साथ काटा जाता है तो क्या होता है।
जबकि पट्टी में निश्चित रूप से दृश्य अपील है, इसका सबसे बड़ा प्रभाव गणित में पड़ा है, जहां इसने टोपोलॉजी नामक एक पूरे क्षेत्र के विकास में मदद की।
एक टोपोलॉजिस्ट उन वस्तुओं के गुणों का अध्ययन करता है जो एक साथ कट या ग्लूइंग भागों के बिना स्थानांतरित, मुड़ी हुई, खिंची या मुड़ी हुई होती हैं। उदाहरण के लिए, ईयरबड्स की एक उलझी हुई जोड़ी एक टोपोलॉजिकल अर्थ में होती है, जो ईयरबड्स की एक अनटैल्ड जोड़ी के समान होती है, क्योंकि एक को दूसरे में बदलने के लिए केवल हिलना, झुकना और मुड़ना आवश्यक होता है। उनके बीच रूपांतरण के लिए किसी कटिंग या ग्लूइंग की आवश्यकता नहीं होती है।
वस्तुओं की एक और जोड़ी जो टोपोलॉजिकल रूप से समान हैं, एक कॉफी कप और एक डोनट हैं। क्योंकि दोनों वस्तुओं में सिर्फ एक छेद होता है, एक को केवल खींचकर और झुकाकर दूसरे में विकृत किया जा सकता है।
एक मग डोनट में मोर्फ करता है। (विकिमीडिया कॉमन्स) किसी वस्तु में छिद्रों की संख्या एक संपत्ति है जिसे केवल काटने या ग्लूइंग के माध्यम से बदला जा सकता है। यह संपत्ति - जिसे किसी वस्तु का "जीनस" कहा जाता है - हमें यह कहने की अनुमति देता है कि एक जोड़ी ईयरबड्स और एक डोनट टोपोलॉजिकल रूप से अलग हैं, क्योंकि डोनट में एक छेद होता है, जबकि एक जोड़ी ईयरबड्स में कोई छेद नहीं होता है।
दुर्भाग्य से, एक Möbius पट्टी और दो-तरफा लूप, एक विशिष्ट सिलिकॉन जागरूकता कलाईबैंड की तरह, दोनों में एक छेद होता है, इसलिए यह संपत्ति उन्हें अलग से बताने के लिए अपर्याप्त है - कम से कम एक टोपोलॉजिस्ट के दृष्टिकोण से।
इसके बजाय, दो-तरफा लूप से मोबियस पट्टी को अलग करने वाली संपत्ति को अभिविन्यास कहा जाता है। छेद की अपनी संख्या की तरह, किसी वस्तु की अभिविन्यासता को केवल काटने या ग्लूइंग के माध्यम से बदला जा सकता है।
अपने आप को एक देखने के माध्यम से सतह पर एक नोट लिखने की कल्पना करें, फिर उस सतह पर घूमना। सतह उन्मुख है अगर, जब आप अपने चलने से वापस आते हैं, तो आप हमेशा नोट पढ़ सकते हैं। एक नॉनवेजेबल सतह पर, आप केवल अपने चलने से वापस आ सकते हैं यह जानने के लिए कि आपके द्वारा लिखे गए शब्द जाहिरा तौर पर उनकी दर्पण छवि में बदल गए हैं और उन्हें केवल दाएं से बाएं पढ़ा जा सकता है। दो तरफा लूप पर, नोट हमेशा बाएं से दाएं पढ़ा जाएगा, कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपकी यात्रा आपको कहां ले गई।
चूँकि मोबीस पट्टी नॉनवेजिएंट है, जबकि टू-साइड लूप ओरिएंटेबल है, इसका मतलब है कि मोबीस स्ट्रिप और टू-साइड लूप टोपोलॉजिकल रूप से अलग हैं।
(डेविड गुनडरमैन द्वारा निर्मित) जब GIF शुरू होता है, तो दक्षिणावर्त सूचीबद्ध सूचीबद्ध डॉट्स काले, नीले और लाल होते हैं। हालांकि, हम मोबीस पट्टी के चारों ओर तीन-डॉट कॉन्फ़िगरेशन को स्थानांतरित कर सकते हैं जैसे कि आंकड़ा उसी स्थान पर है, लेकिन दक्षिणावर्त सूचीबद्ध सूचीबद्ध डॉट्स का रंग अब लाल, नीला और काला है। किसी तरह, विन्यास अपनी दर्पण छवि में रूपांतरित हो गया है, लेकिन हमने जो कुछ भी किया है, वह इसे सतह पर चारों ओर ले जाता है। यह परिवर्तन दो-पक्षीय पाश की तरह एक उन्मुख सतह पर असंभव है।
अभिविन्यास की अवधारणा के महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं। Enantiomers ले लो। इन रासायनिक यौगिकों में एक प्रमुख अंतर को छोड़कर एक ही रासायनिक संरचना होती है: वे एक दूसरे के दर्पण चित्र हैं। उदाहरण के लिए, रासायनिक एल-मेथामफेटामाइन विक्स वाष्प इनहेलर्स में एक घटक है। इसकी दर्पण छवि, डी-मेथमफेटामाइन, एक क्लास ए अवैध दवा है। यदि हम एक असाध्य दुनिया में रहते हैं, तो ये रसायन अप्रभेद्य होंगे।
अगस्त मोबियस की खोज ने प्राकृतिक दुनिया का अध्ययन करने के नए तरीके खोल दिए। टोपोलॉजी के अध्ययन से आश्चर्यजनक परिणाम उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, पिछले साल, टोपोलॉजी ने वैज्ञानिकों को मामले के अजीब नए राज्यों की खोज करने का नेतृत्व किया। इस वर्ष के फील्ड्स मेडल, गणित में सर्वोच्च सम्मान, अक्षय वेंकटेश को दिया गया, जो एक गणितज्ञ थे, जिन्होंने नंबर सिद्धांत जैसे अन्य क्षेत्रों के साथ टोपोलॉजी को एकीकृत करने में मदद की।
यह आलेख मूल रूप से वार्तालाप पर प्रकाशित हुआ था।
डेविड गुनडरमैन, पीएच.डी. एप्लाइड गणित में छात्र, कोलोराडो विश्वविद्यालय और रिचर्ड गुनडरमैन, चांसलर मेडिसिन के प्रोफेसर, लिबरल आर्ट्स, और परोपकार, इंडियाना विश्वविद्यालय
