एक बर्फीले जनवरी के दिन, मैंने कॉलेज के छात्रों की एक कक्षा से पूछा कि वह पहला शब्द बताएं जो उनके दिमाग में आया था जब उन्होंने गणित के बारे में सोचा था। शीर्ष दो शब्द "गणना" और "समीकरण" थे।
जब मैंने पेशेवर गणितज्ञों से एक ही सवाल पूछा, तो न तो उन शब्दों का उल्लेख किया गया था; इसके बजाय, उन्होंने "महत्वपूर्ण सोच" और "समस्या-समाधान" जैसे वाक्यांशों की पेशकश की।
यह दुर्भाग्य से आम है। पेशेवर गणितज्ञ जो गणित के बारे में सोचते हैं, वह पूरी तरह से अलग है कि सामान्य आबादी गणित के बारे में क्या सोचती है। जब बहुत सारे गणित को गणना के पर्याय के रूप में वर्णित करते हैं, तो यह कोई आश्चर्य नहीं है कि हम "मुझे गणित से नफरत है" इतनी बार सुनते हैं।
इसलिए मैंने इस समस्या को कुछ हद तक अपरंपरागत तरीके से हल करने के लिए निर्धारित किया है। मैंने अपनी संस्था कार्थेज कॉलेज में "बुनाई के गणित" नामक एक कक्षा की पेशकश करने का फैसला किया। इसमें, मैंने कक्षा से पेंसिल, पेपर, कैलकुलेटर (हांस्प) और पाठ्यपुस्तक को पूरी तरह से खत्म करने का विकल्प चुना। इसके बजाय, हमने बात की, हमारे हाथों का उपयोग किया, चित्रों को आकर्षित किया और समुद्र तट की गेंदों से टेप को मापने के लिए सब कुछ के साथ खेला। होमवर्क के लिए, हमने ब्लॉगिंग द्वारा प्रतिबिंबित किया। और हां, हम बुनना।
वही लेकिन अलग
गणितीय सामग्री का एक क्रूस समीकरण है, और इसके लिए महत्वपूर्ण समान चिह्न है। X = 5 जैसा एक समीकरण हमें बताता है कि खूंखार x, जो कुछ मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है, का मान 5 है। 5 की संख्या और x का मान बिल्कुल एक जैसा होना चाहिए।
एक विशिष्ट समान चिह्न बहुत सख्त है। "बिल्कुल" से किसी भी छोटे विचलन का मतलब है कि दो चीजें समान नहीं हैं। हालांकि, जीवन में कई बार ऐसे होते हैं जहां दो मात्राएं समान नहीं होती हैं, लेकिन अनिवार्य रूप से कुछ सार्थक मानदंडों द्वारा समान होती हैं।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि आपके पास दो वर्ग तकिए हैं। पहला शीर्ष पर लाल, दाईं ओर पीला, नीचे पर हरा और बाईं ओर नीला है। दूसरा शीर्ष पर पीला, दाईं ओर हरा, नीचे नीला, और बाईं ओर लाल है।
तकिए बिल्कुल एक जैसे नहीं हैं। एक के पास एक लाल शीर्ष है, जबकि एक में एक पीला शीर्ष है। लेकिन वे निश्चित रूप से समान हैं। वास्तव में, यदि आप एक बार वामावर्त के साथ तकिया को लाल शीर्ष के साथ बदल देते हैं, तो वे बिल्कुल समान होंगे।
दो वर्गाकार तकिए को घुमाते हुए (सारा जेनसेन) कितने अलग-अलग तरीकों से मैं एक ही तकिया को बिस्तर पर रख सकता था, लेकिन इसे एक अलग तरह से देखो? थोड़ा होमवर्क से पता चलता है कि 24 संभावित रंगीन थ्रेड तकिया कॉन्फ़िगरेशन हैं, हालांकि उनमें से केवल आठ को एक दिए गए तकिया को हिलाने से प्राप्त किया जा सकता है।
छात्रों ने बुनाई के तकिए से, दो रंगों से मिलकर, बुनाई चार्ट से यह प्रदर्शित किया।
एक फेंक तकिया के लिए एक बुनाई चार्ट (सारा जेन्सेन) छात्रों ने वर्ग बुनाई चार्ट बनाए जहां चार्ट के सभी आठ गतियों के परिणामस्वरूप एक अलग दिखने वाली तस्वीर थी। ये तब एक फेंकने वाले तकिया में बुनना थे जहां चित्रों की समानता को वास्तव में तकिया को हिलाने से प्रदर्शित किया जा सकता था।
रबर शीट ज्यामिति
हमारे द्वारा कवर किया गया एक अन्य विषय एक विषय है जिसे कभी-कभी "रबर शीट ज्यामिति" के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह विचार करना है कि पूरी दुनिया रबर से बनी है, फिर आकार के जैसा दिखना चाहिए।
आइए बुनाई के साथ अवधारणा को समझने की कोशिश करें। बुनाई की वस्तुओं का एक तरीका जो गोल है - जैसे टोपी या दस्ताने - विशेष बुनाई सुइयों के साथ है, जिसे डबल नुकीली सुई कहा जाता है। बनाते समय, टोपी को तीन सुइयों द्वारा आकार दिया जाता है, जिससे यह त्रिकोणीय दिखाई देता है। फिर, जब यह सुइयों से उतर जाता है, तो खिंचाव वाला यार्न एक सर्कल में आराम करता है, जिससे बहुत अधिक विशिष्ट टोपी बनती है।
यह अवधारणा है कि "रबर शीट ज्यामिति" को पकड़ने की कोशिश की जा रही है। किसी तरह, एक त्रिकोण और एक चक्र एक ही हो सकता है यदि वे एक लचीली सामग्री से बने होते हैं। वास्तव में, अध्ययन के इस क्षेत्र में सभी बहुभुज सर्किल बन जाते हैं।
यदि सभी बहुभुज सर्कल हैं, तो क्या आकृतियाँ शेष हैं? कुछ लक्षण हैं जो वस्तुओं के लचीले होने पर भी अलग-अलग हैं - उदाहरण के लिए, यदि किसी आकृति में किनारों या कोई किनारे, छेद या कोई छेद नहीं है, तो ट्विस्ट या कोई ट्विस्ट नहीं है।
किसी चीज़ के बुनाई से एक उदाहरण जो एक सर्कल के बराबर नहीं है, एक अनंत स्कार्फ है। यदि आप घर पर एक पेपर इन्फिनिटी स्कार्फ बनाना चाहते हैं, तो कागज की एक लंबी पट्टी लें और ऊपर के बाएं कोने को नीचे दाएं कोने में संलग्न करके और निचले दाएं कोने को शीर्ष दाएं कोने पर एक साथ गोंद करें। फिर ऑब्जेक्ट के चारों ओर पूरे रास्ते को इंगित करते हुए तीर खींचें। कुछ शांत होना चाहिए।
पाठ्यक्रम में छात्रों ने कुछ समय बुनाई की वस्तुओं में बिताया, जैसे कि अनंत स्कार्फ और हेडबैंड, जो लचीली सामग्री से बने होने पर भी अलग थे। तीर की तरह चिह्नों को जोड़ने से यह कल्पना करने में मदद मिली कि वस्तुएं कैसे भिन्न थीं।
विभिन्न स्वाद
एक अनंत स्कार्फ (कार्थेज कॉलेज) अगर इस लेख में बताई गई बातें आपको गणित की तरह नहीं लगती हैं, तो मैं यह कहना चाहता हूं कि वे बहुत मजबूत हैं। यहां चर्चा की गई विषय - अमूर्त बीजगणित और टोपोलॉजी - आम तौर पर उनके कॉलेज और कॉलेज के वरिष्ठ वर्षों में गणित की बड़ी कंपनियों के लिए आरक्षित हैं। फिर भी इन विषयों के दर्शन बहुत सुगम हैं, जिन्हें सही माध्यम माना जाता है।
मेरे विचार में, कोई कारण नहीं है कि गणित के इन विभिन्न स्वादों को जनता से छिपाया जाना चाहिए या पारंपरिक गणित से कम जोर दिया जाना चाहिए। इसके अलावा, अध्ययनों से पता चला है कि भौतिक रूप से हेरफेर की जा सकने वाली सामग्रियों का उपयोग करके अध्ययन के सभी स्तरों पर गणितीय शिक्षण में सुधार किया जा सकता है।
यदि अधिक गणितज्ञ शास्त्रीय तकनीकों को अलग करने में सक्षम थे, तो ऐसा लगता है कि दुनिया प्रचलित गलतफहमी को दूर कर सकती है कि गणना गणित के समान है। और बस हो सकता है, वहाँ कुछ और लोग गणितीय विचार को गले लगा सकें; यदि अलंकारिक रूप से नहीं, तो सचमुच, एक फेंक तकिया के साथ।
यह आलेख मूल रूप से वार्तालाप पर प्रकाशित हुआ था।
सारा जेन्सेन, गणित के सहायक प्रोफेसर, कार्थेज कॉलेज
